Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular,
se repite a diferentes escalas, muchas estructuras naturales son de tipo
fractal una propiedad matemática es la clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica no es un numero entero.
Fractal es reciente, los
objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde
principios del siglo XX, hay
muchas maneras comunes de determinar lo que hoy en día se conoce como dimensión
fractal.
Fractales
naturales son
objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximación mediante
fractales matemáticos con autosimilaridad estadística. Los fractales
encontrados en la naturaleza se diferencian de los fractales matemáticos en que
los naturales son aproximados o estadísticos y su autosimilaridad se extiende sólo a un rango de escalas.
Fractales de
pinturas, se utilizan para
realizar el proceso de decalcomania
Paisajes fractales, este tipo de
fractales generados computacionalmente pueden producir paisajes realistas
convincentes.
Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede
ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las
líneas costeras3 o los copos de nieve son
fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades
atribuidas a los objetos.
Familias de fractales: el conjunto de Mandelbrot
La familia de conjuntos de
Julia tiene funciones de la forma presenta conjuntos de una
variedad sorprendente, Dicha familia tendrá especial relevancia al quedar
parametrizada en un mapa de fractales, popularizado en los años 1980.
El método de Mandelbrot:
diferentes fractales iterando potencias de Z
Se muestra una serie de
fractales de las diferentes potencias de Z
= Zm + C, según el
método de Mandelbrot. Todos los puntos del plano complejo C= (Cx,iCy) son
iterados por adición a la función correspondiente. Todas las iteraciones parten
de los puntos x=0 iy=0.
El método de Newton
El método de Newton intenta encontrar por iteración las raíces de la función F (Z)-1 = 0.
Se itera la función F (Z) con cada punto del plano complejo (x +
iy), siendo Z=(x1 + iy1) hasta la convergencia de x1 i y1,
según la siguiente fórmula: Zn+1 = Zn – F (Zn) / F’(Zn), en donde F’(Z) es la derivada. Se ha coloreado con el
algoritmo de la velocidad de convergencia.
Características
de un fractal
·
Autosimilitud exacta. este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal
parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fraccionales.
·
Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a
diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y
distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de
conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría.
·
Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que el
fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio
de escala.
Dimensión fractal y dimensión de
Hausdorff-Besicovitch
Los
fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En
ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no nos informa sobre
la forma en que esta ocupa el espacio ambiente. De modo general, podríamos
preguntarnos cómo densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo
contiene. Los números que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones
son:
La dimensión fractal. Las fórmulas
que la definen tienen que ver con el recuento de las bolas necesarias para
recubrir el conjunto o con el de cajas de una cuadrícula que contienen parte
del conjunto, cuando las dimensiones de unas y otras tienden a cero.
·
La dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Tiene una
definición más compleja que la de dimensión fractal. Su definición no suele
usarse para comparar conjuntos del mundo real.
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